Lo studio è condotto dagli atenei di Catania e Ferrara e dal Gran Sasso Science Institute de L'Aquila grazie a un progetto Prin
La modellazione ambientale, epidemiologica, finanziaria e delle scienze sociali poggia sulle più moderne applicazioni della matematica. Ed in particolar modo rivestono un ruolo rilevante le equazioni differenziali alle derivate parziali evolutive.
Proprio lo sviluppo di metodi avanzati per la soluzione numerica di sistemi governati da equazioni alle derivate parziali evolutive (PDE), che possono dipendere da vari parametri, è l’obiettivo principale di un progetto Prin – finanziato dal Ministero dell’Università – condotto dall’Università di Catania, dall’Università di Ferrara e dal Gran Sasso Science Institute de L'Aquila.
Il progetto – denominato Metodi numerici avanzati per equazioni alle derivate parziali parametriche dipendenti dal tempo con applicazioni – è coordinato dal principal investigatorGiovanni Russo, ordinario di Analisi numerica al Dipartimento di Matematica e Informatica dell’Università di Catania.
«Oltre ai campi classici come la dinamica dei fluidi e la teoria cinetica, che descrive il comportamento di un gas rarefatto o di un plasma, le derivate parziali evolutive svolgono un ruolo rilevante in molte moderne applicazioni della matematica. Pertanto, lo sviluppo di strumenti efficienti per la soluzione accurata di tali sistemi è potenzialmente di grande impatto in tutte queste aree» spiega il prof. Giovanni Russo, il quale si sofferma anche sui possibili impatti dello studio.
«Il potenziale impatto della ricerca su aree così disparate è una conseguenza della trasversalità della matematica applicata rispetto alle altre discipline scientifiche: modelli matematici che hanno una struttura simile possono descrivere fenomeni completamente diversi – spiega il docente dell’ateneo catanese -. Ad esempio, sistemi iperbolici di leggi di bilancio, che costituiscono una classe di sistemi di equazioni a derivate parziali, descrivono fenomeni di propagazione che possono riguardare onde elettromagnetiche, onde sonore, onde d'acqua, onde gravitazionali. Le equazioni cinetiche come quelle di Boltzmann, di Vlasov e di Landau-Fokker-Planck forniscono una descrizione mesoscopica di molti agenti interagenti, basti pensare alle molecole di gas, folle di persone, mandrie di animali, automobili nel traffico».
Modellazioni matematiche in ambito finanziario
Le tematiche del progetto, quindi, riguardano lo sviluppo delle metodologie di calcolo per la risoluzione numerica di una ampia classe di problemi.
A soffermarsi su alcuni esempi è proprio il principal investigator del progetto, il prof. Giovanni Russo.
«La propagazione di piccole perturbazioni di uno stato di equilibrio richiede che quest’ultimo sia mantenuto a livello discreto con grande precisione, altrimenti gli errori di discretizzazione possono ostacolare il rilevamento accurato del segnale – spiega il prof. Russo -. Ciò richiede l'uso di opportuni metodi numerici, chiamati schemi ben bilanciati, ovvero metodi numerici in grado di mantenere, esattamente o con grande precisione, gli equilibri, consentendo così un calcolo accurato anche del segnale più piccolo».
«Molti sistemi sono intrinsecamente multiscala nel tempo, con un ampio divario tra la piccola scala temporale e il tempo che descrive l'evoluzione globale del fenomeno – aggiunge -. Un'ampia classe di tali problemi può essere trattata efficacemente con metodi Implicit-Explicit (IMEX), in cui i termini rigidi del sistema sono trattati implicitamente, evitando così severe restrizioni sul passo temporale, mentre tutto ciò che non è rigido è trattato esplicitamente, evitando la necessità di risolvere complessi sistemi di equazioni non lineari, ottenendo così dei metodi accurati ed efficienti».
L'accoppiamento di metodi numerici con schemi IMEX per la soluzione efficiente di sistemi di leggi di bilancio e rilevamento di equilibri è uno degli obiettivi principali di questa proposta – precisa il docente dell’ateneo catanese -. Un'ampia classe di equazioni a derivate parziali di tipo evolutivo può essere efficacemente risolto mediante tecniche basate sulla trasformata di Laplace, una particolare tecnica matematica che permette di trasformare equazioni differenziali in equazioni algebriche, consentendone, in alcuni casi, una risoluzione più efficiente».
«Tali tecniche sono attraenti quando la soluzione è richiesta solo in tempi prestabiliti o in una finestra temporale ed è particolarmente indicata per le derivate parziali evolutive affette da incertezza in cui lo sviluppo di tecniche multi-fedeltà è essenziale, specialmente nel caso di equazioni cinetiche in cui il problema deterministico stesso è già impegnativo dal punto di vista computazionale», conclude il prof. Giovanni Russo.
Equazioni di De Saint Venant
Il gruppo di ricerca
La ricerca è sviluppata da tre team rispettivamente guidati dai docenti Giovanni Russo dell’Università di Catania e principal investigator del progetto, Lorenzo Pareschi del Dipartimento di Matematica dell'Università di Ferrara e Nicola Guglielmi del Gran Sasso Science Institute de L'Aquila.
Proprio i docenti Russo e Pareschi vantano una lunga storia di comune collaborazione su tematiche legate al progetto, come ad esempio lo sviluppo di metodi accurati ed efficienti per equazioni cinetiche o di metodi IMEX per PDE evolutive, ulteriormente rafforzata da precedenti progetti Prin del 2009 e del 2017, anch'essi coordinati dal prof. Russo.
Le competenze delle varie unità sono sufficientemente affini da garantire una proficua collaborazione e al contempo complementari in modo da favore una sinergia per il raggiungimento degli obiettivi del progetto.
Una base comune riguarda le metodologie per lo studio di modelli matematici che descrivono fenomeni evolutivi, inclusi i modelli epidemiologici.
«Catania ha approfondito tecniche per il trattamento di condizioni al contorno, per lo sviluppo di metodi ben bilanciati e per lo studio delle reti complesse, mentre Ferrara ha sviluppato anche tecniche di quantificazione dell'incertezza, di modellizzazione multiscala e tecniche basate sull'uso dei Physically Informed Neural Networks – spiegano i docenti dei rispettivi team di ricerca -. L'Aquila, invece, ha maturato competenze nello studio delle equazioni con ritardo, modelli di ordine ridotto, e metodi basati sulla trasformata di Laplace».
Il prof. Giovanni Russo